Krankenversicherung zwischen Ausbildung und Studium

Hallo ihr, ich hoffe, ich kann mein Anliegen verständlich ausdrücken:

Ausgangssituation:

Vor meiner Ausbildung war ich über meine Eltern bei der Krankenkasse X familienversichert. Als ich vor 3 Jahren meine Ausbildung begonnen habe, bin ich zur Krankenkasse Y gewechselt.

Nun habe ich mich dazu entschieden, ab 01. Oktober dieses Jahres an einer Uni zu studieren (habe eine Handvoll zur Auswahl, die Bewerbungsphase hat jedoch noch nicht begonnen). Manche Universitäten verlangen zur Einschreibung oder auch schon zur Bewerbung eine Bestätigung über die Mitgliedschaft in einer Krankenkasse. Mein Ausbildungsverhältnis endet Mitte Juli mit Bestehen der mündlichen Prüfung. Am Tag danach, werde ich mich als arbeitslos beim Arbeitsamt melden (ein kurzzeitiger Job in dieser Überbrückungszeit ist nicht geplant, da Urlaub, Wohnungssuche, Umzug, Nebenjobsuche fürs Studium, ...). Ich bin also Mitte Juli bis 01. Oktober arbeitslos. In dieser Zeit übernimmt ja die Agentur für Arbeit meine Beiträge.

Fragen:

• Ab wann bin ich wieder familienversichert? (ab 01. Oktober oder dem ersten Tag nach Ende meines Ausbildungsverhältnisses?)

• Zu welchem Datum sollte ich daher die Mitgliedschaft in meiner derzeitigen Krankenkasse Y kündigen (Kündigungsfrist ist immer der letzte Tag das übernächsten Kalendermonats. Der Mitarbeiter am Telefon meinte, es wäre in meinem Fall dann Ende Juli. Aber bei welcher Krankenkasse wäre ich in diesem Fall dann ab 01. August versichert?)?

• Müssen meine Eltern mich wieder bei Krankenkasse X anmelden oder passiert das automatisch?

Aus der Beantwortung dieser Fragen ergibt sich dann wohl auch, welche Krankenkasse mir die Mitgliedschaftsbescheinigung ausstellt (...?).

Ich hoffe, ihr seht einigermaßen durch und vielleicht war auch ja der eine oder andere schon mal in dieser oder einer ähnlichen Situation. Ich wäre für euren Input wirklich sehr, sehr dankbar!